Мирка (inkogniton) wrote,
Мирка
inkogniton

Categories:
  • Mood:

Утреннее...

Я сижу, пью кофе, читаю ленту. И я понимаю, что надо бы что-то сказать. У нас война. Но я не могу сказать. Я не умею говорить об этом - никак: ни захватывающе весело, ни захватывающе грустно, никак. Я не умею переживать публично - никогда не умела и вряд ли научусь. Именно поэтому я ничего не говорю на эту тему. Это совсем не значит, что мне нечего сказать. Это совсем не значит, что у меня нет позиции. Это совсем не значит, что мне не страшно или я не волнуюсь. Это значит только одно - я не умею об этом говорить. Поэтому я молчу. На эту тему молчу. Пытаюсь веселить своими байками - так как, на мой взгляд, это то, чем я могу помочь, хоть немного, в этот кошмарный период. Почитаете байку, посмеетесь. Может и не захохочете, но хотя бы улыбнетесь. Это я умею. Или мне кажется, что я умею. Поэтому, вряд ли, у меня будет хоть что-то о войне, кроме того, что я только что написала.

А ещё я очень люблю говорить о своей работе. Но о ней здесь говорить это значило бы издеваться над вами. А вот занимательные заметки, вполне сойдут. Поэтому сегодня будет ещё одна занимательная заметка, как продолжение ко вчерашнему об Учителе. Она будет больше математическая, нежели литературная, но я постараюсь, чтобы было максимально понятно. Итак.

Через много лет, Евклид, наткнувшись на заметки ученика (не претендую, что именно так, но что-то очень близко к этому), озадачился тем же вопросом - как представить корень из двух в виде дроби, в которой и числитель и знаменатель были бы целыми числами. Пытаясь сделать это, он постепенно пришел к выводу, что если бы это было возможно, то процесс сокращения этой дроби был бы бесконечным. Именно тогда он, по дороге, первым "изобрёл" доказательство от противного. Именно это доказательство я и хочу здесь написать. Итак. Делать мы это будем в два этапа.

Первый этап - мы докажем, что если квадрат числа делится на два без остатка, то и само число делится на два без остатка. То есть, если у нас есть какое-то целое число n, так что его квадрат, то есть n*n делится на два без остатка, то и само число n будет делиться на два без остатка.

Допустим, что это не так - то есть, допустим, что n*n делится на два без остатка, но при этом n не делится на два без остатка. Остаток, который может образоваться при делении на два, это только 1 (если остаток ноль, значит остатка нет - то есть, число делится на два, если остаток два, опять значит остатка нет, а если остаток больше двух, то из него можно выделить всё то, что делится на два и смотреть на остаток от этого - например, остаток 5 - но 5 делится на два с остатком 1, так как 4 делится на два нацело). Итак, у нас есть число n, которое при делении на два дает в остатке 1. То есть, его можно представить следующим образом:

n = 2*k + 1,

когда k это какое-то целое число. (Например, 5 = 2*2 + 1, 19 = 9*2 + 1 и.т.д.)

Посмотрим на квадрат этого числа:

n*n = (2*k + 1)(2*k + 1) = 4*k*k + 4*k + 1 = 4*k(k + 1) + 1.

4*k(k + 1) делится на два нацело, так как один из множителей делится на два. Но, как мы видим, n*n не делится на два нацело, так как в остатке есть 1. А это противоречит нашему предположению, что n*n делится на два нацело. Отсюда делаем вывод - если n*n делится на два нацело, значит и n делится на два нацело.

Теперь докажем, что корень из двух (2^(1/2)) не является рациональным числом. То есть не является дробью, в которой и числитель, и знаменатель были бы целыми числами.

Предположим, что (2^(1/2)) = m/n (то есть пойдём от противного - предположим, что корень из двух является дробью, в которой m и n целые числа). Предположим, что это сокращенная дробь - то есть у m и n нет ни одного общего делителя - нет ни одного числа, кроме единицы, на которое они оба делились бы. Мы можем это предположить, так как если это не так, мы всегда можем сократить до состояния, когда это будет так - например, 24/36 - оба числа делятся на три, значит деление и числителя и знаменателя на три не изменит дроби. Разделим и получим 8/12. Теперь мы видим, что оба числа делятся на четыре - значит деление и числителя и знаменателя на четыре не изменят дроби, разделим и получим 2/3. Теперь мы видим, что эта дробь максимально сокращена - 2 и 3 не делятся одновременно ни на одно число, кроме единицы. Именно поэтому мы имеем право предположить, что наша дробь m/n максимально сокращена. Возведём обе части уравнения в квадрат - получим:

2 = (m*m)/(n*n).

Домножим на (n*n) обе части уравнения - это положительное число, отличное от нуля, поэтому домножение на него обеих частей уравнения не изменит само уравнение. Получим:

2(n*n) = (m*m). (*)

В левой части присутствует 2, а это значит, что вне зависимости от значения (n*n) мы получаем, что (m*m) делится на два. Из предыдущего утверждения, мы получаем, что в этом случае m тоже делится на два, то есть мы можем записать это число в следующем виде: m=2*k, когда k какое-то целое число. Подставим это выражение в уравнение (*) и получим:

2(n*n) = (2*k)*(2*k) = 4*k*k.

Теперь мы видим, что мы можем разделить обе части уравнения на два, не изменив само уравнение. Получим в результате:

n*n = 2*k*k.

То есть, мы получили, что n*n делится нацело на 2. А это значит, что и n делится нацело на два.

То есть, мы получили, что и n и m делятся нацело на два. Но мы предположили, что мы сократили эту дробь насколько можно - а получили, что могли бы сократить её ещё. Именно поэтому мы пришли к опровержению. Опровержение нашему предположению, что корень из двух рациональное число - то есть, его возможно представить в виде дроби, в которой и числитель и знаменатель были бы целыми числами. А раз мы получили опровержение этому предположению, это значит, что корень из двух невозможно представить таким образом, то есть это число не является рациональным.

Именно это обнаружил Евклид - то есть он обнаружил, что если считать корень из двух рациональным числом, тогда процесс сокращения будет бесконечным.

Ех, надеюсь, я понятно объяснила. Пойду-ка я ещё кофе попью.... Спасибо за внимание.
Tags: любовь, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 14 comments